Lêi nãi ®Çu Tõ bao giê kh«ng râ Nh©n gian ®• cã c©u: “V¹n vËt cã liªn quan”. Tù nhiªn ®• Tån t¹i: “V¹n vËt” vµ “V¹n vËt cã liªn quan” nh­ thÕ nµo?. Nh­ng “Mäi thø” bao gåm: “V¹n vËt vµ V¹n vÊn ®Ò”-“Mäi sù vËt, hiÖn t­îng” Tù nhiªn Sinh ra nh­ thÕ nµo? vµ ®• Tån t¹i “cã liªn quan” víi nhau kh«ng? “cã liªn quan” víi nhau nh­ thÕ nµo?. VÊn ®Ò ®Æt ra “Chóng Ta cÇn x©y dùng mét ®Ó chøng minh r»ng: “V¹n vËt” vµ “V¹n vÊn ®Ò” Tù nhiªn sinh ra “Cã c¬ së” cña nã! vµ ®• Tån t¹i “cã liªn quan” víi nhau “Cã c¬ së” Kh¸ch quan vµ Khoa häc ”. §Ó lµm ®­îc viÖc ®ã Chóng Ta cÇn ph¶i biÕt c¸c “§èi t­îng” Kh¸ch quan ®ã Tù nhiªn sinh ra “Cã c¬ së” Khoa häc víi Ng«n ng÷ To¸n häc Lµm ®­îc viÖc nµy th×: sÏ chøng minh r»ng: 1-Kh«ng gian bao la Tù nhiªn ®• Tån t¹i trong mét sù “ Thèng nhÊt”- “§ång nhÊt lý” tõ lý nµo? 2-Mäi vÊn ®Ò cña Tù nhiªn ®Òu diÔn gi¶i, biÓu diÔn, chøa ®ùng trong Ng«n ng÷: “MÖnh tö” To¸n häc 3-Mäi thø kh«ngTù nhiªn Sinh ra vµ kh«ng Tù nhiªn MÊt ®i. 4-Mäi thø lu«n Tù nhiªn Sinh ra vµ lu«n Tù nhiªn MÊt ®i. 5-Mäi thø ®• Sinh ra tõ Vò trô kh«ng quan s¸t (Vò trô MÞn) vµ HiÖn h×nh-Tån t¹i trong Vò trô quan s¸t (Vò trô H¹t). 6-Vò trô kh«ng quan s¸t (Vò trô MÞn) chøa ®ùng Vò trô quan s¸t (Vò trô H¹t). Mäi cÊu tróc trong kh«ng quan s¸t (Vò trô MÞn) ®Òu trßn. Trang viÕt nµy nãi lµ x©y dùng mét , còng ®óng song ®óng nghÜa cña nã míi chØ lµ mét gäi ý cho viÖc Nghiªn cøu Khoa häc vµ ¸p dông Khoa häc trong mäi lØnh vùc Nghiªn cøu mµ th«i.


PhÇn A

 L­îc ®å S¬ bé cÊu tróc cña m«n häc

PhÇn-I L­îc ®å S¬ bé cÊu tróc "MÖnh tö" trªn hai tËp cña m«n häc A"TËp hîp"


T¹m thêi chóng Ta nhê vµo kh¸i niÖm TËp hîp mµ Tãan häc hiÖn t¹i ®• x©y dùng vµ ph¸t triÓn c¸c Ng«n ng÷ Tãan häc hiÖn t¹i. Còng nhê vµo Ng«n ng÷ Tãan häc vµ Ng«n ng÷ c¸c khoa häc kh¸c hiÖn t¹i ®Ó x©y dùng mét kh¸i niÖm míi, kh¸i qu¸t vµ T×m nguån gèc mäi: "®èi t­îng"-"HiÖn t­îng" (V¹n thø) tõ ®©u ? mµ Cã ! Kh¸i niÖm TËp hîp gäi lµ mét "®èi t­îng" hay "HiÖn t­îng" ®­îc liÖt kª, hay gom gép: c¸c "®èi t­îng" hay "HiÖn t­îng" gäi chung lµ cïng "TÝnh chÊt" hay “PhÐpLogic” nµo ®ã, ®Ó nghiªn cøu, lËp thµnh mét "bé phËn" gäi lµ mét TËp hîp . Ký hiÖu TËp hîp: A; B; C;....; X; Y; Z;.... Mçi "§èi t­îng" hay "HiÖn t­îng" trong mét TËp hîp ®­îc gäi lµ mét "PhÇn tö", hay lµ mét "MÖnh tö", (huÆc “§èi tö”) Ký hiÖu "MÖnh tö" lµ: , , ,...., , , ,.... Sè "MÖnh tö " trong mét TËp hîp A ®­îc gäi lµ: "§é lín " cña tËp hîp A, Ký hiÖu lµ:A; "§é lín" cña c¸c "MÖnh tö": , , ,...., , , ,.... lÇn l­ît lµ: a = , b = , c = ,...., x = , y= ,z= ,.... Ký hiÖu TËp hîp c¸c "§é lín" lµ: R ={x | x= ,  X } gäi lµ tËp c¸c sè: x cña t©p hîp R, ViÕt: xR Vµi l­u ý vÒ TËp hîp:

  • TËp hîp: A gåm c¸c "MÖnh tö " cña tËp hîp B th× tËp hîp A gäi lµ tËp hîp con cña tËp hîp B (Ký hiÖu: A B).
  • Trªn mét tËp hîp B, víi cïng mét “HÖ ®Õm”, “§¬n vÞ” cña tËp hîp con: A B, nhá h¬n “§¬n vÞ” cña tËp B chøa tËp A.
  • TËp hîp: A B, th× còng cã thÓ gäi A lµ mét "MÖnh tö " cña tËp hîp B, nªn mét TËp hîp lµ mét "MÖnh tö ", hay mét "MÖnh tö " lµ mét TËp hîp
  • TËp hîp: CA(B)={ x x B vµ x  A B } gäi lµ phÇn bï cña tËp A trong tËp B
  • TËp hîp: A = Ai = Ai = Ai , Víi: i vµ 1≤i≤ kI. Nªn c¸c líp “MÖnh tö”: {nak +(n-1)ak-1 +…..+ a}=aA, Víi: aA, khi vµ chØ khi TËp hîp A lµ “TËp hîp MÞn”
  • TËp hîp: A lµ mét "MÖnh tö" hay “§èi tö” cña mét tËp hîp B chøa tËp hîp A B, nªn mét "MÖnh tö" cã thÓ gäi lµ mét tËp hîp vµ ng­îc l¹i .
  • C¸c vÊn ®Ò kh¸c vÒ TËp hîp nh­ To¸n häc-hiÖn ®¹i, ®• khai th¸c, cÇn tham kh¶o, khai th¸c nghiªn cøu thªm, vËn dông thªm bæ sung thªm: víi nh÷ng "PhÐp-logic" ®• lµ “MÖnh tö” Tån t¹i nã, tïy ý ®éc gi¶.
  • Mét "MÖnh tö", hay “§èi tö” cña mét tËp hîp sinh ra, Tån t¹i nã lµ thÕ nµo ®©y?
  • Mäi “MÖnh tö", hay “§èi tö” cña mét tËp hîp sinh ra, Tån t¹i nã lµ thÕ nµo ®©y?

B-"PhÐp- logic" ,TËp hîp PhÐp-logic Ngang 1-Kh¸i niÖm vÒ "PhÐp- logic"-“C¸ch-Suy luËn” NhËn xÐt: *Mäi "®èi t­îng"-"HiÖn t­îng", “Tù nhiªn”-“T¹o hãa” ®• “HiÖn h×nh”-“Tån t¹i” tõ ®©u mµ cã?,

  • Ph¶i ch¨ng tõ “PhÐp-logic” tïy ý, kh¼ng ®Þnh, ®Æt t­¬ng øng, liªn hÖ gi÷a c¸c "MÖnh tö" cña hai tËp hîp hay sao!?

2- §Þnh nghÜa tæng qu¸t "PhÐp-logic" gi÷a hai tËp gäi lµ “PhÐp-logic Ngang” nh­ sau: §Þnh nghÜa: Cho hai tËp hîp X vµ Y kh¸c ræng (≠) tïy ý-bÊt kú. Mét c¸ch tïy ý, kh¼ng ®Þnh, ®Æt t­¬ng øng, liªn hÖ gi÷a mét tËp c¸c "MÖnh tö": ( X ) cña tËp hîp X (ChØ ra cô thÓ, huÆc theo mét quy t¾c nµo ®ã), ®Õn duy nhÊt mét “MÖnh tö”: ! ( Y) cña tËp hîp Y, gäi lµ mét “PhÐp-logic” ®­îc thiÕt lËp gi÷a hai tËp hîp X vµ Y, hay trªn tËp hîp (XY). Ký hiÖu “PhÐp-logic” ®ã lµ:

: XY , Víi:       = ( ),  X;   Y

Ta viÕt: =( ; )(XY) vµ gäi lµ mét “MÖnh tö”, biÕn “MÖnh tö” : X trªn tËp x¸c ®Þnh X thµnh "MÖnh tö ": Y trªn tËp gi¸ trÞ Y;

  • Ký hiÖu TËp hîp tÊt c¶ c¸c “MÖnh tö ngang” : :XY , lµ:
 n = {   | : XY , Víi:    = ( ), X;  Y}
  • Hay TËp hîp tÊt c¶ c¸c “MÖnh tö ngang”: =( ; )(XY, trong tËp hîp (XY), cßn ký hiÖu lµ: n={ =( ; )(XY), X; Y }

VÝ dô: * Cho mét tËp hîp Y lµ mét “MÖnh tö ngang”: : XX, Víi: = ( ),  XX;  (X)=YX Cho tËp th­êng viÕt: Y={ | = ( ), X;  X }= (X)X Hay viÕt: Y={ | =( ; )(XX), X; X }

  • Khi nµy mét “MÖnh tö ngang”: =( ; )(XY) gäi lµ mét "MÖnh ®Ò" kÐo theo ®óng (§) ®èi víi “PhÐp-logic ngang” =“MÖnh tö ngang” : , trªn tËp hîp (XY), hay gäi lµ mét "MÖnh ®Ò" kÐo theo ®óng (§) ®èi víi “LuËt hîp thµnh” Y trªn tËp hîp Y,
  • Khi nµy Ta còng cßn nãi r»ng:

1- Mét “MÖnh ®Ò” kÐo theo: =( ; ) gäi lµ mét “TÝch Decac” kÐo theo , ®èi víi “LuËt hîp thµnh” Y trªn tËp hîp Y, biÕn “MÖnh tö”: X thµnh "MÖnh tö ": Y , Tån t¹i trªn tËp hîp (XY). 2- Mét “MÖnh ®Ò” kÐo theo: =( ; ), gäi lµ mét “MÖnh tö” kÐo theo , ®èi víi “LuËt hîp thµnh” Y trªn tËp hîp Y , biÕn “MÖnh tö” : X thµnh "MÖnh tö ": Y, Tån t¹i trªn tËp hîp (XY). Nh­ v©y: “PhÐp-logic ngang”: =( ; ), gäi lµ mét “MÖnh tö”, mét “TÝch Decac”, mét "MÖnh ®Ò " kÐo theo ®óng(§) ®èi víi: “LuËt hîp thµnh” Y trªn tËp hîp Y, biÕn “MÖnh tö” : X thµnh "MÖnh tö ": Y, Tån t¹i trªn tËp hîp (XY).

  • §é lín cña “MÖnh tö”: =( ; )(XY), gäi lµ “Kho¶ng c¸ch” cña hai “MÖnh tö”: X ®Õn "MÖnh tö ": Y, vµ

Ký hiÖu “§é lín” cña mét “MÖnh tö”: =( ; )(XY) lµ: f = | |a =|( ; )|a =|| |+| ||a , Víi: a lµ “§é lín” cña “MÖnh Tö” “Hîp h­íng” cña c¸c “MÖnh Tö” vµ “MÖnh Tö” , ®• tïy ý x©y dùng trªn tËp hîp (XY). (Gäi:R lµ tËp hîp “§é lín” hay “TËp Sè” sÏ x©y dùng tõ “PhÐp ®Õm” c¸c “MÖnh tö” cña mét tËp hîp bÊt kú ) Sè thùc: aR, gäi lµ hÖ sè “Co gi¶n” vµ “ThÓ d¹ng” cña c¸c “MÖnh t­” vµ “MÖnh Tö” . HuÆc lµ hÖ sè: “Co gi¶n” vµ “ThÓ d¹ng” cña c¸c “MÖnh t­” vµ “MÖnh Tö” , “Hîp h­íng” cña c¸c “MÖnh Tö” vµ “MÖnh Tö” , víi mét (hä) “MÖnh Tö” ®• chän lµm “H­íng” C¬ së

  • Nh­ vËy: Víi “Tïy ý ” c¸c tËp hîp: X vµ Y, “Tïy ý ” x¸c ®Þnh mét “Hîp thµnh” “Tïy ý ” cã Ýt nhÊt hai “MÖnh tö” vµ “MÖnh Tö” , vµ theo c¸ch “Tïy ý” x©y dùng: “Tïy ý ” víi mét tham sè, hay “Tïy ý ” víi mét bé tham sè “Co gi¶n” vµ “ThÓ d¹ng” th×: cã biÕt bao nhiªu? mét (Hä-HÖ) “MÖnh tö” ngang: :XY, ®­îc thiÕt lËp-t¹o thµnh gi÷a hai tËp hîp X vµ Y, hay trªn tËp hîp (XY):
  • Nªn "§èi t­îng", "HiÖn t­îng" gäi lµ mét "PhÇn tö", hay gäi chung lµ mét "MÖnh tö", hay “§èi tö” míi trong mét, huÆc trªn nhiÒu TËp hîp bÊt kú ®­îc xuÊt hiªn-Sinh ra tõ mét “PhÐp-logic ngang” tïy ý ®• trë thµnh lµ mét (hä) “MÖnh Tö”, trªn chóng.
  • Nªn cã biÕt bao nhiªu? M«n häc trong Ngµnh To¸n- TÝnh to¸n vµ c¸c Ngµnh häc kh¸c ®• x©y dùng vµ tiÕp tôc x©y dùng ph¸t triÓn tõ ®©y?
  • Nªn tÊt c¶ mäi sù “Thiªn biÕn v¹n hãa” cña “Tù nhiªn” vµ “X• héi” ®Òu ®i tö gèc nµy, mäi M«n häc, mäi Ngµnh häc cÇn ph¶i nghiªn cøu, vËn dông kh¸i niÖm “PhÐp-logic” “MÖnh tö”- To¸n häc nµy; hiÓu ®óng, vËn dông chÝnh x¸c, KiÓm nghiÖm mäi ViÖc- mäi VÊn ®Ò ®• x©y dùng vµ tiÕp tôc x©y dùng ph¸t triÓn mäi ViÖc- mäi VÊn ®Ò.

§Þnh Lý: Trªn tËp hîp (XY), víi “MÖnh tö”: =( ; ) n(XY). Víi mäi “MÖnh tö” i trung gian:  i(XY), víi i, Ta lu«n cã: TÝch Decac hay “MÖnh tö”:

=( ; )=( ; 1 ;  2 ; …. ; i ;  ) n(XY).   

Khi nµy: TÝch Decac hay “MÖnh tö”: =( ; ) n , gäi lµ “MÖnh tö hîp” cña c¸c “MÖnh tö”: ; 1 ; 2 ; 3 ; …. ; i ; vµ ký hiÖu:

 = ( . i. i-1. i-2.…. . 1. )=( ; ) n(XY).   

C/M: Ta thÊy rÊt râ: mäi “MÖnh ®Ò” kÐo theo: i [ i(XY)], víi i, tÊt c¶ ®Òu lµ c¸c “MÖnh tö” ngang trong tËp: (XY).

  • TËp hîp tÊt c¶ c¸c “MÖnh tö” ngang:

Nµy n={ =( ; )(XY)}, trªn tËp hîp: (XY) nÕu cã mét tËp hîp (Hä-HÖ) c¸c “MÖnh tö” ngang: i , 1 i ≤ n (iN-tïy ý) cã “Quan hÖ” b»ng nhau, sÏ lËp thµnh trªn tËp hîp (XY), gäi lµ c¸c “MÖnh tö” Tiªn ®Ò cña mét “CÊu tróc”: “Nhãm” , “Vµnh” , “Tr­êng” ; “Kh«ng gian”…vv.... VÝ du: “CÊu tróc” c¸c: “M«n häc”, c¸c: “Kh«ng gian”, c¸c “Vò trô” …

  • Mét “PhÐp-logic” ngang: =( ; )(XY), cã sè kh¶ n¨ng HiÖn h×nh-Tån t¹i hay cã sè kh¶ n¨ng trë thµnh “MÖnh tö” phô thuéc vµo sè “MÖnh tö” X, vµ sè “MÖnh tö” Y, h÷u h¹n, HuÆc v« h¹n

Nh­ vËy: * Tõ hai tËp hîp X vµ Y kh¸c ræng (≠) tïy ý-bÊt kú: Víi mæi “MÖnh tö”: X, cã sè c¸c kh¶ n¨ng xÈy ra c¸ch kh¼ng ®Þnh, ®Æt t­¬ng øng, liªn hÖ gi÷a c¸c "MÖnh tö" tËp X ®Õn tËp Y b»ng sè “MÖnh tö”: Y cña tËp Y. Víi mæi “MÖnh tö”: Y cã sè c¸c kh¶ n¨ng xÈy ra c¸ch kh¼ng ®Þnh, ®Æt t­¬ng øng, liªn hÖ gi÷a c¸c "MÖnh tö" tËp X ®Õn tËp Y b»ng sè “MÖnh tö”: Y cña tËp X.

  • Sè nhá nhÊt c¸c kh¶ n¨ng xÈy ra: Mét "PhÐp-logic" ngang, ®­îc thiÕt lËp-t¹o thµnh gi÷a hai tËp hîp X vµ Y, hay trªn tËp hîp (XY), chØ s¶y ra lµ hai kh¶ n¨ng vµ hai kh¶ n¨ng HiÖn h×nh-Tån t¹i mét “PhÐp-logic” ngang biÕn Mçi: X thµnh Mét: Y nh­ sau:

HuÆc:1- Cho hai tËp hîp X vµ Y kh¸c ræng () bÊt kú- tïy ý. Mçi “MÖnh tö”: X, tïy ý kh¼ng ®Þnh ®­îc ®Æt t­¬ng øng, liªn hÖ, x¸c ®Þnh duy nhÊt mét víi “MÖnh tö” : !Y, gäi lµ mét “MÖnh ®Ò” kÐo theo, tõ c¸c “MÖnh tö”: X ®Õn “MÖnh tö” duy nhÊt: !Y, trong tËp hîp (XY). Ký hiÖu lµ: : XY , Víi: = ( ), X; Y Ta viÕt: =( ; )(XY) gäi lµ mét “MÖnh ®Ò” kÐo theo biÕn “MÖnh tö”: X thµnh "MÖnh tö ": Y;

  • Mét "MÖnh ®Ò " kÐo theo: =( ; )(XY) lµ mét "MÖnh ®Ò" kÐo theo ®óng(§) ®èi víi “PhÐp-logic ngang” , trªn tËp hîp (XY) th×: =( ; ) gäi lµ mét “MÖnh tö” kÐo theo “C¸ thÓ”, biÕn “MÖnh tö” : X thµnh "MÖnh tö ": Y.
  • Mét “MÖnh tö” kÐo theo “C¸ thÓ”, biÕn “MÖnh tö”: X thµnh "MÖnh tö ": Y, cã hai kh¶ n¨ng xÈy ra lµ:

+ Mçi “MÖnh tö”:  XX ®Õn duy nhÊt mét “MÖnh tö”: !Y, th×: =( ; ) gäi lµ mét “MÖnh tö ®¬n” kÐo theo “§¬n C¸ thÓ” + Mäi “MÖnh tö”:  XX ®Õn duy nhÊt mét “MÖnh tö”: !Y, th×: =( ; ) gäi lµ mét “MÖnh tö ®a” kÐo theo “§a C¸ thÓ” HuÆc:2- Cho hai tËp hîp X vµ Y kh¸c ræng () bÊt kú- tïy ý. Khi tËp hîp: X  X vµ tËp hîp: YY, nÕu bÊt kú mét MÖnh tö :  X , kh¼ng ®Þnh, ®­îc ®Æt t­¬ng øng, liªn hÖ, x¸c ®Þnh duy nhÊt mét MÖnh tö : !Y, gäi lµ: mét hä "MÖnh ®Ò" kÐo theo, (còng gäi t¾t lµ mét "MÖnh ®Ò" kÐo theo) tõ mçi “MÖnh tö”: X ®Õn mçi “MÖnh tö”: Y, trong tËp hîp (XY), víi Y = (X) Ký hiÖu : : XY , Víi: = ( ),  X X;  YY Ta viÕt hä “MÖnh ®Ò”, tõ “MÖnh tö”: X ®Õn “MÖnh tö”: Y:

  =( ; )(XY) (XY), lµ mét “MÖnh ®Ò” kÐo theo t¹o tõ "MÖnh tö" :  X  biÕn thµnh " MÖnh tö ":  Y; 
  • Mét "MÖnh ®Ò" kÐo theo: =( ; )(XY)(XY) gäi lµ mét hä "MÖnh tö" kÐo theo ®óng(§) ®èi víi “PhÐp-logic ngang” , trªn tËp hîp (XY) th×: =( ; ) gäi lµ “HiÖn h×nh-Tån t¹i” mét hä “MÖnh tö” kÐo theo “Céng thÓ”, (còng th­êng gäi t¾t lµ mét “MÖnh tö” kÐo theo), biÕn hä “MÖnh tö” : X thµnh hä "MÖnh tö ": Y trong tËp hîp (XY)
  • Mét hä “MÖnh tö” kÐo theo “Céng thÓ”, biÕn hä “MÖnh tö”: X thµnh hä "MÖnh tö ": Y, cã hai kh¶ n¨ng xÈy ra lµ:

+ Mçi “MÖnh tö”:  XX ®Õn hä “MÖnh tö”: YY, th×: =( ; ) gäi lµ mét hä “MÖnh tö” kÐo theo “§¬n Céng thÓ” + Mäi hä “MÖnh tö”:  XX ®Õn hä “MÖnh tö”: YY, th×: =( ; ) gäi lµ mét hä “MÖnh tö” kÐo theo “§a Céng thÓ”

  • Khi nµy gäi "MÖnh tö ": =( ; )(XY) lµ: mét "Hîp thµnh", hay mét “§å thÞ ®iÓm” cña "MÖnh tö ": Y, hay mét "TÝch §Ò C¸c" cña hai “MÖnh tö” : X vµ "MÖnh tö ": Y, trong tËp hîp: (XY).
  • Khi nµy gäi "MÖnh tö ": X lµ mét "BiÕn Hîp thµnh", còng gäi lµ mét "BiÕn MÖnh tö " cña "MÖnh tö " =( ; )(XY) trong tËp hîp: (XY).

"BiÕn MÖnh tö ": X lµ “Thêi gian” (Tuæi thä) cña "MÖnh tö " =( ; )(XY)(XY).

  • Khi nµy gäi "MÖnh tö ": Y lµ mét "LuËt Hîp thµnh", còng gäi lµ mét "LuËt MÖnh tö " cña "MÖnh tö " =( ; )(XY)

"LuËt MÖnh tö ": Y cßn gäi lµ “Kh«ng gian”(Thµnh phÇnThÓ) HiÖn h×nh-Tån t¹i cña "MÖnh tö " =( ; )(XY).

  • HiÓn nhiªn cÇn thÊy r»ng: chØ mét tr­êng hîp: (xX vµ yY) th× “MÖnh ®Ò” kÐo theo =( ; )(XY)(XY) lµ mét “MÖnh ®Ò” kÐo theo Sai(S), cßn c¸c tr­êng hîp cßn l¹i “MÖnh ®Ò” kÐo theo: =( ; )(XY)(XY) ®óng (§), ®èi víi “MÖnh tö” ngang: =( ; )(XY) (XY) lµ mét hä “MÖnh ®Ò” kÐo theo ®óng (§) trong tËp hîp (XY).
  • Mét hä “MÖnh tö” kÐo theo ®óng (§): =( ; )(XY) (XY), gäi lµ “Mét thÓ” trong tËp hîp (XY). NghÜa lµ tËp hîp: (XY) lµ “Mét thÓ” trong tËp hîp (XY)
  • Khi nµy c¸c “MÖnh tö " ngang: =( ; )(XY)(XY), trong tËp hîp: (XY), ®­îc gäi lµ: “§¬n MÖnh tö ", “Toµn MÖnh tö”, “Song MÖnh tö” , “Ng­îc MÖnh tö” ,…, ®­îc §Þnh nghÜa nh­ PhÐp-Logic ®• gäi lµ: ¸nh x¹ trong To¸n häc hiÖn t¹i, ®• x©y dùng. C¸c kh¸i niÖm, thuËt ng÷ : CÇn vµ §ñ; khi vµ chØ khi; t­¬ng ®­¬ng; ….; ®ång cÊu ®¼ng cÊu trong phÇn tr×nh bÇy “Häc thuyÕt nµy” gÇn nh­ c¸c kh¸i niÖm, thuËt ng÷ trong To¸n häc hiÖn t¹i, ®• nghiªn cøu vµ x©y dùng, ¸p dông chØnh lý nh­êng cho §éc gi¶

3- "MÖnh tö h÷u h­íng" vµ " MÖnh tö V« h­íng" a- MÖnh tö H÷u h­íng-Cã h­íng ( ký hiÖu: C): §Þnh nghÜa : Trªn hai tËp hîp X vµ Y kh¸c ræng() bÊt kú, khi ®­îc thiÕt lËp mét "MÖnh tö" kÐo theo : =( ; )(XY), gäi lµ mét "H÷u h­íng", hay gäi lµ mét "§¬n h­íng" tõ MÖnh tö :  X ®Õn “MÖnh tö”: YY, víi: y = ( ) vµ Y= (X)Y, trong tËp hîp (XY), khi vµ chØ khi:  = ( ), Víi: (XY)(XY).. Ký hiÖu: =( , ); lµ “MÖnh tö” Gèc, lµ “MÖnh tö” Ngän VÝ dô:1- PhÐp-logic: Ph¸t biÓu mét §Þnh nghÜa, gäi lµ PhÐp-logic: Ph¸t biÓu mét Tiªn ®Ò lµ mét “MÖnh tö” trong tËp hîp (XY), hay trªn mét tËp hîp bÊt kú 2-Tõ s¬ ®å trªn ®• ®­îc thiÕt lËp mét tËp hîp c¸c (hÖ) "MÖnh ®Ò" kÐo theo: n trªn tËp hîp X vµ Y kh¸c ræng() bÊt kú: C¸c “MÖnh tö” ®• chØ ra cô thÓ cã mòi tªn, kh¼ng ®Þnh sù t­¬ng øng-liªn hÖ gi÷a c¸c "MÖnh tö" cña hai tËp hîp X vµ Y : 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; lµ c¸c "MÖnh ®Ò" kÐo theo ®èi víi hä "MÖnh ®Ò" kÐo theo: trªn tËp hîp (XY), víi Y = (X)Y; gäi lµ c¸c "§¬n h­íng"- "Cã h­íng" tõ MÖnh tö : x X ®Õn MÖnh tö: yY, trong tËp hîp (XY). b- MÖnh tö “V« h­íng”-"§a h­íng" (ký hiÖu: K): §Þnh nghÜa : Trªn hai tËp hîp X vµ Y, hay trªn tËp hîp (XY). ®­îc thiÕt lËp kh¼ng ®Þnh, mét "MÖnh tö" kÐo theo : =( ; )(XY), gäi lµ mét "V« h­íng", hay gäi lµ lµ mét "§a h­íng" tõ “MÖnh tö” : X ®Õn “MÖnh tö” : Y, trong tËp hîp (XY), khi vµ chØ khi: = = ( ), Víi: = (XY)(XY). Ký hiÖu “MÖnh tö” "§a h­íng" lµ: f = (x;y)(XY). VÝ dô: PhÐp-logic: Cho mét tËp hîp: XX; PhÐp-logic: PhÐp ®Õm sè “MÖnh tö” cña tËp hîp: XX; PhÐp-logic: Chän ®¬n vÞ tËp hîp XX, trong mét tËp hîp X bÊt kú lµ PhÐp-logic kh¼ng ®Þnh-x¸c ®Þnh mäi “MÖnh tö” cña tËp X nh­ lµ mét “MÖnh tö” ®Òu gäi lµ mét “MÖnh tö”: “§a h­íng” Cô thÓ h¬n: C¸c Sè, c¸c §¬n thøc, §a thøc,…, C¸c §iÓm, C¸c H×nh, …, Ta ®• biÕt lµ nh÷ng “MÖnh tö”: “§a h­íng” NhËn xÐt:

  • Ta thÊy r»ng: Mét “§¬n h­íng” hay gäi lµ mét “Lç®en”, HuÆc mét “§a h­íng” hay gäi lµ mét “V« h­íng” ®Òu gäi chung lµ: mét "MÖnh tö ".
  • Nh­ vËy mét "MÖnh tö" bÊt kú: HuÆc lµ mét "§¬n h­íng" hay gäi lµ mét “Lç®en”, HuÆc lµ mét "§a h­íng" hay gäi lµ mét “V« h­íng”.
  • §èi víi: Mét "§a h­íng" hay gäi lµ mét “V« h­íng” cßn cÇn ph¶i x©y dùng: Mét "§a h­íng ®ñ" hay gäi lµ mét “V« h­íng ®ñ” vµ Mét "§a h­íng thiÕu" hay gäi lµ mét “V« h­íng thiÕu” khi x©y dùng: phÐp “§Õm ®ñ” vµ phÐp “§Õm thiÕu” sau nµy.

4-PhÐp-Logic Däc(PhÐp-Logic Hîp) §Þnh nghÜa tæng qu¸t "PhÐp-logic" liªn tiÕp gi÷a c¸c tËp gäi lµ “PhÐp-logic” Däc nh­ sau: Cho c¸c tËp hîp X, Z, H,....,K vµ Y, kh¸c ræng () bÊt kú. C¸c c¸ch kh¼ng ®Þnh, ®Æt t­¬ng øng, liªn hÖ liªn tiÕp gi÷a c¸c "MÖnh tö" cña c¸c tËp hîp: X, Z, H,....,K vµ Y (ChØ ra cô thÓ huÆc theo c¸c quy t¾c) nµo ®ã, gäi lµ "PhÐp- logic Däc" hay "PhÐp-logic Hîp" ®­îc thiÕt lËp gi÷a c¸c tËp hîp X, Z, H, ,....,K vµ Y, hay gäi lµ c¸c "PhÐp- logic Däc" hay c¸c "PhÐp- logic Hîp" trªn tËp hîp (XZ,...,KY): - Mçi MÖnh tö: X, kh¼ng ®Þnh-x¸c ®Þnh ®Æt t­¬ng øng, liªn hÖ víi MÖnh tö:  Z, gäi lµ mét "MÖnh ®Ò" kÐo theo, tõ MÖnh tö: X ®Õn MÖnh tö:  Z, trong tËp hîp (XZ). Khi ®ã MÖnh tö: Z, l¹i kh¼ng ®Þnh-x¸c ®Þnh ®Æt t­¬ng øng, liªn hÖ víi MÖnh tö: H, gäi lµ mét "MÖnh ®Ò" kÐo theo, tõ MÖnh tö: Z ®Õn MÖnh tö: H, trong tËp hîp (XZH). ...................................................... Khi ®ã tiÕp tôc ®Õn “MÖnh tö”: K, l¹i kh¼ng ®Þnh-x¸c ®Þnh ®Æt t­¬ng øng, liªn hÖ víi MÖnh tö: Y, gäi lµ mét "MÖnh ®Ò" kÐo theo, tõ “MÖnh tö”: K ®Õn MÖnh tö: Y, trong tËp hîp (XZH....KY)

Ký hiÖu lµ: : X( 1) Z( 2)H( 3)........  K( k)Y , Víi: ........ = ( ), Vµ X; Z; H; ....... ; K; Y. Ta viÕt: =( ; ; ;....; ; )(XZH......KY) gäi lµ mét "MÖnh ®Ò" biÕn "MÖnh tö " : X , qua c¸c "MÖnh tö" trung gian (gäi lµ PhÐp biÕn ®æi trung gian-hiÓu nh­ lµ MÖnh ®Ò trung gian, hay gäi lµ c¸c kh»ng ®Þnh trung gian): ; ;.......; , thµnh "MÖnh tö": Y; Khi nµy viÕt: = k. k-1. …. . 3. 2. 1.; Víi: k lµ c¸c “ mÖnh ®Ò” kÐo theo víi mäi: i, 1≤i ≤ k, th× : gäi lµ TÝch (hayHîp) cña c¸c “mÖnh ®Ò” kÐo theo : k trªn tËp hîp: (XZH......KY) Khi nµy gäi "MÖnh ®Ò " kÐo theo:

=( ; ; ;.......; ; )(XZH......KY) gäi lµ mét “MÖnh ®Ò” kÐo theo; hay mét "Hîp thµnh" cña tËp hîp: (XZH......KY); hay cßn gäi lµ mét "TÝch §Ò c¸c" cña c¸c tËp hîp: X; Z; H; ......; K; vµ Y.

Chó ý: Mét “MÖnh ®Ò” kÐo theo:

=( ; ; ;.......; ; )(XZH......KY), chØ trë thµnh “MÖnh tö” kÐo theo, khi vµ chØ khi: mäi  “MÖnh ®Ò ” kÐo theo:  k  ®Òu lµ c¸c “MÖnh tö” kÐo theo:  k   trong tËp hîp: (XZH......KY), víi mäi kI

Nªn viÖc chøng minh mét “MÖnh tö” dÉn ®Õn mét “MÖnh tö” rÊt dÔ thµnh ngôy biÖn. Nªn ®Ó chøng minh mét “MÖnh tö” dÉn ®Õn mét “MÖnh tö” chØ cã hai c¸ch ®ã lµ: C¸ch 1) C/M: Mäi “MÖnh ®Ò ” kÐo theo: k ®Òu lµ c¸c “MÖnh tö” kÐo theo: k trong tËp hîp: (XZH......KY), víi mäi kI C¸ch 2) C/M: Mäi “MÖnh ®Ò ” kÐo theo: z = ( ; ) kÐo theo; h = ( ; ) kÐo theo;…..; k = ( ; ) kÐo theo, ®Òu lµ c¸c “MÖnh tö” kÐo theo. Nh­ vËy : * Mét “MÖnh tö” Ýt nhÊt lµ Hîp (TÝch) cña hai “MÖnh tö” n»m trong Giao() cña hai tËp hîp chøa hai “MÖnh tö” nµy vÝ dô: 5=2+3= 4+1=……

  • CÊu tróc mäi "MÖnh tö", hay Mäi sù HiÖn h×nh-tån t¹i cña V¹n thø, V¹n vÊn ®Ò, Mäi Sù vËt, gäi chung lµ mäi HiÖn t­îng: Thùc, ¶o....trong mäi Vò trô Quan S¸t vµ kh«ng Quan S¸t gäi lµ: "MÖnh tö" = ( ; ) (XY)(XY):

HuÆc lµ: "MÖnh tö " =( ; )(XY)(XY) , gäi lµ mét "Hîp thµnh", hay mét "TÝch §Ò c¸c" cña tËp hîp: (XY)(XY), kÕt hîp hai "MÖnh tö" cña hai tËp hîp: X vµ Y, gäi lµ: mét "VËt ChÊt":

  =( ; )(XY)(XY)
  • Khi X = Y th× Trªn mét tËp hîp X.
+Mét hÖ H÷u h¹n liªn tiÕp c¸c "MÖnh tö " kÐo theo  k , lµ hÖ c¸c phÐp biÕn ®æi "MÖnh tö " kÐo theo nµy ®Õn mét "MÖnh tö " kÐo theo míi kh¸c. §©y lµ c¸ch chøng minh mét "MÖnh tö " kÐo theo = “MÖnh ®Ò kÐo theo §” gäi lµ C/M  mét: §Þnh ®Ò, §Þnh lý,…

+Mét hÖ V« h¹n liªn tiÕp c¸c "MÖnh tö " lµ hÖ c¸c phÐp biÕn ®æi "MÖnh tö " kÐo theo nµy ®Õn mét "MÖnh tö " kÐo theo míi kh¸c. §©y lµ c¸ch T×m giíi h¹n mét "MÖnh tö " kÐo theo, gäi lµ Giíi h¹n cña mét "MÖnh tö " kÐo theo ( hay Giíi h¹n cña hä mét "MÖnh tö” kÐo theo) + HiÓn nhiªn thÊy r»ng: -Mét hÖ (TÝch §Ò c¸c) liªn tiÕp c¸c "MÖnh tö " cã §é lín T¨ng lµ hÖ c¸c phÐp biÕn ®æi "MÖnh tö " TÝch lòy N¨ng l­îng -Mét hÖ (TÝch §Ò c¸c) liªn tiÕp c¸c "MÖnh tö " cã §é lín Gi¶m lµ hÖ c¸c phÐp biÕn ®æi "MÖnh tö " Gi¶ phãng N¨ng l­îng

5-VÝ dô ¸p dông c¸c kh¸i niÖm ®• ®­îc gäi lµ “Tù nhiªn”-“T¹o hãa” tõ kh¸i niÖm “MÖnh tö” ®• ®­îc x©y dùng trªn: NhËn xÐt: Kh¸i niÖm “MÖnh tö” ®• ®­îc x©y dùng trªn trong tËp hîp: (XY); ®i vµo cô thÓ mçi lØnh vùc Nghiªn cøu cÇn thÊy r»ng hai tËp hîp: X vµ Y chØ cã hai kh¶ n¨ng xÈy ra lµ: HuÆc: X≠Y; HuÆc: X=Y 1-HuÆc: X=Y, lµ tr­êng hîp ®Æc biÖt cña tr­êng hîp X≠Y: “MÖnh tö” tïy ý: =( ; )(XY)(XY) gäi lµ “To¸n MÖnh tö ” hay “To¸n tö” §Æc biÖt: X=Y= R (R lµ tËp hîp ®é lín-TËp sè) “MÖnh tö” tïy ý: =( ; )(XY)(XY) gäi lµ “MÖnh tö TÝnh to¸n ” hay “MÖnh To¸n” VÝ dô-1: C¸c MÖnh ®Ò-§inh lý, PhÐp to¸n: mµ To¸n häc ®• x©y dùng hiÖn t¹i, ®Òu gäi lµ “MÖnh tö TÝnh to¸n ” hay “MÖnh To¸n” VÝ dô-2: Cho tËp hîp X bÊt kú kh¸c ræng (). CÇn hiÓu lµ: X= Xk ; Xk = Xk+1 , víi :kI. XÐt mét "MÖnh tö": k : XX, lµ " MÖnh tö Hîp" ("MÖnh tö " Däc) cña mét " MÖnh tö- ngang" k : X|X| ; k| k|= a, (k = ): k = [ k . k-1. ..... 2. 1] , biÕn ®æi liªn tiÕp " §é lín" cña c¸c "MÖnh tö" : kX , gäi lµ phÐp " MÖnh tö §Õm ", lµ "PhÐp to¸n §Õm"=“PhÐp to¸n Thªm”: k (Ký hiÖu: k= +), "§é lín" c¸c "MÖnh tö": X b»ng a, nghÜa lµ: = a , kX, x¸c ®Þnh nh­ sau:

k : XX ,  k  = k = a , nghÜa lµ: k ( k )= k (a)= a,  hay:  k =  (a; a) = a+a = 2.a (k =   )

Do ®ã ta cã: X( 1)X ( 2) X( 3).....X( k-1)X( k)X:

                      a        2.a        3.a     .....  (k-1).a  k.a   (k+1).a

VËy lµ: k(a)= [ k . (k-1). ..... 2. 1](a)= (k+1).a Tõ ®ã PhÐp Logic : k hîp : k phÐp logic: k ,(k = ) vµ ®Æt b = k+1 th× khi thùc hiÖn (b-1) b­íc biÕn ®æi trªn X víi phÐp TÝnh to¸n Céng(+) th«ng th­êng c¸c "Sè" = ®é lín " MÖnh tö " Ta ®­îc kÕt qu¶:

b(a) = [ (b-1).  (b-2) .  .....   2.  1](a) = (b).a= ba . 

Gäi: b(a) = b.a =ba , lµ TÝch cña "MÖnh tö" cã ®é lín: b vµ "MÖnh tö" cã ®é lín: a. Nªn " MÖmh tö" b cã ®é lín  b  =b.a= ba

Ta l¹i xÐt mét "PhÐp-Logic ngang " (k+1) , x¸c ®Þnh nh­ sau:

(k+1): XX ; ( )  a = (k+1)[( )]=  = k.a = ka    víi: X=  Xk ;  Xk = Xk+1 ,  k = , Nh­ vËy ®é lín cña " MÖmh tö"  (k+1)  =(ka; a)= (ka+a) =(k+1)a

Tõ ®ã PhÐp Logic (k+1) ngang: mét phÐp logic: (k+1) vµ ®Æt b = k+1 th× khi thùc hiÖn biÕn ®æi : k = (b-1) "MÖnh tö": X cã ®é lín  = a, trªn X víi: (k+1) phÐp TÝnh to¸n Céng(+) th«ng th­êng c¸c "Sè" = ®é lín " MÖnh tö " Ta ®­îc kÕt qu¶: Nªn " MÖmh tö" b cã ®é lín  b = b.a = ba

* VËy kÕt hîp lai Ta cã ®Þnh lý:  b = b = b.a = ba ,víi:  a, vµ b  lÇn l­ît lµ ®é lín cña c¸c "MÖnh tö":  X vµ "MÖnh tö":   X
  • Thay ®æi vai trß cña a vµ b trong viÖc dÉn d¾t trªn Ta cã ®Þnh lý:

PhÐp biÕn ®æi tÝnh to¸n cña c¸c "MÖnh tö L­îng tö " (gäi lµ "MÖnh tö - §é lín") gäi lµ cã tÝnh chÊt giao ho¸n lµ:  b = b = b.a = a.b ,víi:  a, vµ b lÇn l­ît lµ ®é lín cña c¸c "MÖnh tö":  X vµ "MÖnh tö":   X VËn dông VÝ dô: trªn víi : a = ; huÆc b = , nãi chung lµ Tæng c¸c H¹t v« cïng bÐ khi cho: (n) khi ®i qua n = b ; huÆc n= a, th× kÕt ®äng thµnh H¹t. §©y lµ sù HiÖn h×nh h¹t N¨ng l­îng: "VËt ChÊt" §Çu Tiªn trong Vò trô quan s¸t Chóng ta Sèng hiÖn nay. 2-HuÆc: X≠Y; Mét “MÖnh tö” tïy ý: =( ; )(XY)(XY) gäi lµ mét “Sinh MÖnh tö ” hay gäi gän lµ mét “Sinh tö” tõ MÖnh tö :  X X ®Õn “MÖnh tö”: YY, víi: y = ( ) vµ Y= (X)Y, trong tËp hîp (XY), Khi nµy “MÖnh tö” =( ; )(XY)(XY) lµ mét “Sinh tö” chung cña hai tËp hîp X vµ Y Khi ®ã mét trong hai kh¶ n¨ng xÈy ra trªn (X=Y; HuÆc: X≠Y) Ta S¬ bé cã thÓ x©y dùng mét vµi kh¸i niÖm “C¬ b¶n” sau: §Þnh nghÜa: Mét "MÖnh tö " tïy ý: =( ; )(XY)(XY). lµ: mét "Hîp thµnh", hay mét “§å thÞ ®iÓm” cña "MÖnh tö ": YY, hay mét "TÝch §Ò c¸c", hay mét d¹ng "Læ ®en" cña tËp hîp: (XY). 1- Mét "MÖnh tö ": X ®• “Liªn tôc” ®Õn mét “MÖnh tö”: Y, ®èi víi "MÖnh tö" kÐo theo =( ; )(XY), trong tËp hîp: (XY) ®èi víi tËp hîp: (XY)(XY). 2-Mét "MÖnh tö ": X ®• “ChuyÓn hãa” thµnh mét “MÖnh tö”: Y, ®èi víi "MÖnh tö" kÐo theo =( ; )(XY), trong tËp hîp: (XY) ®èi víi tËp hîp: (XY)(XY). 3- Mét "MÖnh tö ": X ®• “T¹o hãa”= “Tù nhiªn” thµnh mét “MÖnh tö”: Y, ®èi víi "MÖnh tö" kÐo theo =( ; )(XY), trong tËp hîp: (XY) ®èi víi tËp hîp: (XY)(XY). 4- Mét “MÖnh tö”: X ®• “Cïng ph­¬ng” víi mét “MÖnh tö”: Y, ®èi víi "MÖnh tö" kÐo theo =( ; )(XY), trong tËp hîp: (XY) ®èi víi tËp hîp: (XY)(XY), khi vµ chØ khi: = r. = r , víi : r lµ mét “§a h­íng” = “V« h­íng ” trong tËp hîp: (XY) a) - Mét “MÖnh tö”: X ®• “Cïng h­íng” víi mét “MÖnh tö”: Y, ®èi víi "MÖnh tö" kÐo theo =( ; )(XY), trong tËp hîp: (XY) ®èi víi tËp hîp: (XY)(XY), khi vµ chØ khi: = r. = r , víi : r lµ mét “§a h­íng ®ñ” = “V« h­íng ®ñ” trong tËp hîp: (XY) b) - Mét “MÖnh tö”: X ®• “Kh¸c h­íng” víi mét “MÖnh tö”: Y, ®èi víi "MÖnh tö" kÐo theo =( ; )(XY), trong tËp hîp: (XY) ®èi víi tËp hîp: (XY)(XY), khi vµ chØ khi: = r. = r , víi : r lµ mét “§a h­íng thiÕu” = “ V« h­íng thiÕu” trong tËp hîp: (XY) 5- Mét “MÖnh tö”: X ®• “Quan hÖ” víi mét “MÖnh tö”: Y, ®èi víi "MÖnh tö" kÐo theo =( ; )(XY), trong tËp hîp: (XY) ®èi víi tËp hîp: (XY)(XY). a) - Mét “MÖnh tö”: X ®• cã “Quan hÖ” b»ng nhau mét “MÖnh tö”: Y ( = ), ®èi víi "MÖnh tö" kÐo theo =( ; )(XY), trong tËp hîp: (XY) ®èi víi tËp hîp: (XY)(XY). ), khi vµ chØ khi: §é lín d­¬ng lín b»ng nhau | | = | | vµ “Cïng h­íng vµ Cïng ThÓ” b) - Mét “MÖnh tö”: X ®• cã “Quan hÖ” kh¸c nhau mét “MÖnh tö”: Y, ( ≠ ) ®èi víi "MÖnh tö" kÐo theo =( ; )(XY), trong tËp hîp: (XY) ®èi víi tËp hîp: (XY)(XY). khi vµ chØ khi: HuÆc cã §é lín d­¬ng lín kh¸c nhau (| | ≠ | |) , HuÆc “Kh¸c h­íng, HuÆc Kh¸c ThÓ” b1)- Mét “MÖnh tö”: X ®• cã “Quan hÖ” thø tù lín h¬n mét “MÖnh tö”: Y, ( > ) ®èi víi "MÖnh tö" kÐo theo =( ; )(XY), trong tËp hîp: (XY) ®èi víi tËp hîp: (XY)(XY). khi vµ chØ khi: cã §é lín d­¬ng: | |> | |, vµ “Cïng h­íng vµ Cïng ThÓ” b2) - Mét “MÖnh tö”: X ®• cã “Quan hÖ” thø tù nhá h¬n mét “MÖnh tö”: Y, ( < ) ®èi víi "MÖnh tö" kÐo theo =( ; )(XY), trong tËp hîp: (XY) ®èi víi tËp hîp: (XY)(XY). khi vµ chØ khi: cã §é lín d­¬ng: | |< | |, vµ “Cïng h­íng vµ Cïng ThÓ” 6- Mét “MÖnh tö”: X ®• “KÐo theo” ®Õn mét “MÖnh tö”: Y, ®èi víi "MÖnh tö" kÐo theo: =( ; )(XY), trong tËp hîp: (XY) ®èi víi tËp hîp: (XY)(XY). 7- Mét “MÖnh tö”: X ®• lµ mét “L©n cËn” cña “MÖnh tö”: Y, ®èi víi "MÖnh tö" kÐo theo =( ; )(XY), trong tËp hîp: (XY) ®èi víi tËp hîp: (XY)(XY). §é lín d­¬ng : | | = f  R+, gäi lµ b¸n kÝnh “L©n cËn” cña “MÖnh tö”: Y; ký hiÖu lµ:  = | | = f  R+ ( TËp sè thùc: R vµ tËp sè thùc D­¬ng R+ ®­îc x©y dùng tõ: phÐp ®Õm §ñ vµ phÐp ®Õm ThiÕu ®äc gi¶ tù x©y dùng ®­îc) Mét “MÖnh tö”: i(XY) thuéc (trong) “L©n cËn”: , cña “MÖnh tö”: i(XY) , khi vµ chØ khi: | i| = fi , Víi: i =( i; i)(XY) a) - Mét “MÖnh tö”: X ®• lµ mét “L©n cËn” H¹t cña “MÖnh tö”: Y, ®èi víi "MÖnh tö" kÐo theo , trong tËp hîp: (XY) ®èi víi tËp hîp: (XY)(XY), khi vµ chØ khi: | | = f , cã §é lín d­¬ng lín tïy ý.

  • B¸n kÝnh “L©n cËn” H¹t cña “MÖnh tö”: Y, lµ:  = | | = f  R+ , huÆc cã h÷u h¹n “MÖnh tö”: X , huÆc kh«ng cã “MÖnh tö”: X,
  • TËp hîp: X = { | cã B¸n kÝnh () “L©n cËn H¹t” }, Ta gäi TËp hîp X lµ tËp hîp H¹t- hay tËp hîp “Rêi r¹c”

b)-Mét“MÖnh tö”: X ®• lµ mét “L©n cËn MÞn” cña “MÖnh tö”: Y, ®èi víi "MÖnh tö" kÐo theo =( ; )(XY), trong tËp hîp: (XY) ®èi víi tËp hîp: (XY), khi vµ chØ khi: | | = f , cã §é lín d­¬ng nhá tïy ý.

  • B¸n kÝnh “L©n cËn MÞn” cña “MÖnh tö”: Y, lµ:  = | | = f  R+ , cã v« h¹n “MÖnh tö”: X
  • Mét TËp hîp: X = { | cã B¸n kÝnh() “L©n cËn MÞn”}, Ta gäi TËp hîp X lµ TËp hîp MÞn- hay TËp hîp “Kh«ng Rêi r¹c”, hay cßn gäi lµ TËp hîp “DedeKind” hay TËp hîp “T­¬ng ®èi” hay “MÖnh tö Dedekind”.
  • §Ó ý: Mét “MÖnh tö Dedekind” X bÊt kú cña mét TËp hîp Min X “Song tö” (hiÓu nh­ Song ¸nh) víi mäi “MÖnh tö Dedekind” cña mét TËp hîp Min X, Vµ mäi “MÖnh tö Dedekind” cña mét TËp hîp Min X “Song tö” (hiÓu nh­ Song ¸nh) víi TËp hîp Min X.

Bëi vËy Di truyÒn “Dßng Hä”-“ Téc Hä” c¬ b¶n lµ ChØ ¶nh h­ëng ®èi víi hîp tö cña Ng­ê× MÑ ®ã ®Õn “mét ®êi” cña “Ng­êi con” cã cïng huyÕt thèng (Cha, MÑ) trong mét “Dßng Hä”-“ Téc Hä” Êy. nh­ng Sù tiÕn hãa,(thui chét, hay ph¸t triÓn) cña ¤ng, Cha th×: tÝch, t¨ng, theo c¸c kh¶ n¨ng (XÊu, hay Tèt) cña Ng­êi Con víi ho¹t c¶nh cña ®êi sèng c¸ thÓ trong c¸ thÓ thêi ®¹i. Bëi vËy Cã v« sè c¸ch “NÐn” “§¬n vÞ th«ng tin” trªn c¸c “Ph­¬ng tiÖn” ghi, nhí “Th«ng tin”: Nh­ c¸c d¹ng ®Üa ghi “Th«ng tin”, ch¹y ph¸t “Th«ng tin”. 8- Mét “MÖnh tö”: X ®• “§Þnh h­íng” ®Õn “MÖnh tö”: Y, ®èi víi "MÖnh tö" kÐo theo =( ; )(XY), trong tËp hîp: (XY) ®èi víi tËp hîp: (XY)(XY). 9- Mét “MÖnh tö”: X ®• “Phô thuéc” vµo “MÖnh tö”: Y, ®èi víi "MÖnh tö" kÐo theo =( ; )(XY), trong tËp hîp: (XY) ®èi víi tËp hîp: (XY)(XY). 10- Mét “MÖnh tö”: X ®• “BiÓu thÞ” víi “MÖnh tö”: Y, ®èi víi "MÖnh tö" kÐo theo =( ; )(XY), trong tËp hîp: (XY) ®èi víi tËp hîp: (XY)(XY), vµ =( ; )= + (Ký hiÖu dÊu: (+) gäi lµ Tæng cña hai “MÖnh tö”: X vµ “MÖnh tö”: Y; CÇn HiÓu: “MÖnh tö”: XX thªm vµo “MÖnh tö”: YY) 11- C¸c “MÖnh tö”: X vµ “MÖnh tö”: Y, lµ “C¬ së” cña "MÖnh tö": trong tËp hîp: (XY) ®èi víi tËp hîp: (XY)(XY). 12- Gäi: (XY) lµ phÇn bï cña "MÖnh tö": trong tËp hîp: (XY) th×:"MÖnh tö" =( ; )=(( ; ); ), trong tËp hîp: (XY (XY)) gäi lµ “ Hîp thµnh-Tù nhiªn” cña c¸c tËp hîp: X vµ Y. Khi nµy "MÖnh tö" = ( ; ) = (( ; ); ) gäi lµ: “MÖnh tö-T­¬ng t¸c” trong tËp hîp: (XY (XY)) RÊt dÓ thÊy r»ng: sù thay ®æi-h×nh thµnh mét “MÖnh tö” bÊt kú trong tËp hîp: (XY (XY)) th×: "MÖnh tö" = ( ; ) = (( ; ); ) còng thay ®æi-¶nh h­ëng theo. §Æc biÖt khi: X=Y th×: "MÖnh tö" = ( ; )=(( ; ); ) = ( ; ; ) =( ;( ; )) trong tËp hîp: (X (X)), lµ mét “MÖnh tö” MÞn cã cÊu tróc thµnh phÇn §é lín “MÖnh tö”: gäi lµ Tuæi (“Tuæi T­¬ng ®èi”) vµ thµnh phÇn §é lín "MÖnh tö": ( ; ) gäi lµ H¹t. Thµnh phÇn H¹t cña “MÖnh tö ” cã Thµnh phÇn Néi hµm: vµ Thµnh phÇn Ngä¹i diªn: . Mét khi: X lµ tËp hîp MÞn vµ: lµ Thµnh phÇn Néi hµm “c¬ b¶n” th× Thµnh phÇn Ngä¹i diªn: “c¬ b¶n” Trung hßa vµ §èi lËp víi nhau trong mét “ C¸ ThÓ ”: th× gäi lµ H¹t “c¬ b¶n”.

  • Nh­ vËy: “MÖnh tö ” =( ; ; ), HiÖn h×nh-Tån tai trong tËp hîp: (X (X)), ch­a ph¶i lµ H¹t “c¬ b¶n” th× mçi “MÖnh tö ”: ; ; vµ còng cã c¸c Thµnh phÇn nh­ “MÖnh tö ” , Ch¼ng h¹n “MÖnh tö ” ®Æc biÖt:
=( 1 ;  2 ;  3);  =( 1 ;  2 ;  3);….; T­¬ng tù nh­ vËy chuyÓn tiÕp-®i s©u vµo V« h¹n trong mét “MÖnh Tö” cã cÊu tróc trªn “TËp hîp MÞn”: (X (X)), ®Õn H¹t “c¬ b¶n” th×  biÕt ®­îc Qu¸ khø vµ T­¬ng lai Sù h×nh thµnh vµ ph¸t triÓn cña “MÖnh tö”:   trong tËp hîp: (X (X)). Nªn thêi gian h×nh thµnh vµ ph¸t triÓn cña Mäi “MÖnh tö MÞn” lµ V« h¹n. 
  • Nh­ vËy Ta ®• biÕt tr­íc vµ biÕt sau mäi “MÖnh tö” trong Vò trô quan s¸t nµy lµ V« h¹n, kh«ng ph¶i Ta ®• biÕt tr¨m n¨m vÒ tr­íc vµ tr¨m n¨m vÒ sau, cµng kh«ng ph¶i Ta ®• biÕt ngµn n¨m vÒ tr­íc vµ ngµn n¨m vÒ sau.
  • Nh­ vËy T«i khÏ khua nhÑ bµn phÝm M¸y tÝnh nµy, hay lµn Giã lµm nhÑ bay mét h¹t bôi, còng ®• thay ®æi tÊt c¶ c¸c Vò trô, t­¬ng t¸c ®Õn v¹n thø, t­¬ng t¸c ®Õn v« h¹n hiÖn t­îng, quanh Ta.
  • Nh­ vËy th× t¸c ®éng Quanh Ta vµo mæi chóng Ta lµ V« h¹n nh»m ph¸ vë “C¸ thÓ” mçi chóng Ta.
  • Nh­ vËy Tæng qu¸t cho Mäi sù HiÖn h×nh-tån t¹i cña V¹n thø, V¹n vÊn ®Ò, mäi Sù vËt, mäi HiÖn t­îng, gäi lµ Thùc, Hay ¶o,...trong mäi Vò trô Quan s¸t (Mäi “MÖnh tö” Vò trô Quan s¸t ®Òu lµ “MÖnh tö” MÞn) vµ kh«ng Quan s¸t gäi lµ: "MÖnh tö " =( ; )(XY)(XY), lµ: mét "Hîp thµnh-C¸ thÓ", cña tËp hîp: (XY), lµ: mét "TÝch §Ò c¸c" cña hai tËp hîp: X vµ Y, Hay gäi lµ: "VËt ChÊt" HiÖn h×nh-tån t¹i trong mäi Vò trô; hay mäi Kh«ng gian Quan S¸t vµ kh«ng Quan s¸t, cô thÓ chøa nã.
  • Sù HiÖn h×nh-Tån t¹i mäi "MÖnh tö ": =( ; )(XY)(XY), lu«n phô thuéc vµo (lu«n cã) hai “MÖnh tö” (gäi lµ: hai mÆt=hai hîp tö) cÊu thµnh: lµ: vµ ; Mçi “MÖnh tö” vµ , l¹i phô thuéc vµo c¸c kh¶ n¨ng (hai mÆt=hai hîp tö) cÊu thµnh chóng, ……
  • Bëi vËy c¸c kh¶ n¨ng HiÖn h×nh-Tån t¹i cña mäi " MÖnh tö ": =( ; )(XY)(XY), lµ H÷u h¹n , huÆc V« h¹n, ¾t h¼n phô thuéc vµo ®èi t­îng trong lØnh vùc Nghiªn cøu: mäi Vò trô; hay mäi Kh«ng gian Quan S¸t vµ kh«ng Quan s¸t, cô thÓ chøa nã lµ H÷u h¹n, huÆc V« h¹n “MÖnh tö”.

5- Mét sè TÝnh chÊt ®• ®­îc “Tù nhiªn”-“T¹o hãa” tõ kh¸i niÖm “MÖnh tö” ®• ®­îc x©y dùng trªn: §Þnh lý 1: Mét “MÖnh tö” : XY, víi  = ( ) Víi:  X;  Y) HiÖn h×nh-Tån t¹i, chØ cã hai kh¶ n¨ng xÈy ra lµ: 1-§èi víi Mçi “MÖnh tö”= Mçi “PhÐp-Logic” bÊt kú :  Y: +HuÆc: HiÖn h×nh-Tån t¹i (c= Cã):  X, Tu©n thñ “PhÐp-Logic”: (Sinh ra: ), khi nµy gäi lµ “MÖnh ®Ò” kÐo theo §óng(§) +HuÆc: Kh«ng HiÖn h×nh-Tån t¹i (k= Kh«ng): X, Kh«ng Tu©n thñ “PhÐp-Logic”: (kh«ng sinh ra: ), khi nµy gäi lµ mÖnh ®Ò kÐo theo Sai(S) 2-§èi víi Mçi “MÖnh tö” bÊt kú :  Y, HiÖn h×nh-Tån t¹i (c= Cã):  X, Tu©n thñ “PhÐp-Logic”: (Sinh ra:  ), khi nµy gäi lµ “MÖnh ®Ò” kÐo theo §óng(§) chØ xÈy ra: +HuÆc: Mét “MÖnh tö”= Mét “PhÐp-Logic” :  gäi lµ Mét “Tiªn ®Ò” (=Mét §N= Mét c¸ch §Æt tªn) khi vµ chØ khi: X≠Y vµ XY=(ræng); cßn gäi lµ “PhÐp-Logic”= “ MÖnh ®Ò” kÐo theo ®óng(§) Thèng nhÊt gi÷a hai mÆt §èi lËp: vµ +HuÆc: Mét “MÖnh tö”=Mét “PhÐp-Logic”  :gäi lµ Mét PhÐp BiÕn ®æi(Mét PhÐp chøng minh = Mét suy ra), khi vµ chØ khi: X=Y; cßn gäi lµ “PhÐp-Logic”= “MÖnh ®Ò ” kÐo theo ®óng(§) M©u thuÉn gi÷a hai mÆt §èi lËp: vµ C/M: Râ rµng tõ §N §Þnh lý 2: Mét “MÖnh tö” :XY,  = ( ) Víi:  XX;  Y= (X)Y , lµ Mét “MÖnh tö” : gäi lµ Mét “Tiªn ®Ò” (=Mét §N=Mét c¸ch §Æt tªn) khi vµ chØ khi: ≠ = ( ) vµ XY=(ræng); cßn gäi lµ “MÖnh tö” Thèng nhÊt gi÷a hai mÆt §èi lËp: vµ , HiÖn h×nh-Tån t¹i, chØ cã hai kh¶ n¨ng xÈy ra lµ: a) Duy nhÊt mét “MÖnh tö”: !X , kh¼ng ®Þnh ®Æt t­¬ng øng víi Duy nhÊt mét “MÖnh tö”: !Y, khi nµy gäi lµ §¬n “MÖnh tö” trªn TËp hîp (XY) b) NhiÒu “MÖnh tö”: { }X, kh¼ng ®Þnh ®­îc ®Æt t­¬ng øng víi Duy nhÊt mét “MÖnh tö”: !Y, khi nµy gäi lµ §a “MÖnh tö” trªn TËp hîp (XY). C/M: Râ rµng tõ §N §Þnh lý 3: Mét “MÖnh tö”: :XY,  = ( ) Víi:  Ì{ }ÌX X; ÌY Y, khi nhiÒu “MÖnh tö”= tËp:{ }ÌXX, kh¼ng ®Þnh ®­îc ®Æt t­¬ng øng víi duy nhÊt mét “MÖnh tö”: !ÌYY, gäi lµ Sè kh¶ n¨ng xÈy ra, hay sè HiÖn h×nh-Tån t¹i cña mét: “MÖnh tö”: !ÌY lµ sè “MÖnh tö”: Ì{ }ÌX , lµ ®é lín cña TËp hîp: { }ÌX, gäi lµ Sè kh¶ n¨ng T¹o hãa-Tù nhiªn=sè HiÖn h×nh-Tån t¹i cña mét: “MÖnh tö” : !ÌY

C/M: Ta thÊy tõ  §N: Mçi “MÖnh tö”:  Ì{ }ÌX , x¸c ®Þnh, t¬­¬ng øng duy nhÊt  mét: “MÖnh tö” :  !ÌY  lµ mét "MÖnh ®Ò" kÐo theo: Tõ  “MÖnh ®Ò”:  ÌX  ®Õn “MÖnh ®Ò"  !ÌY. Mçi:  ÌX th× cã mét "MÖnh ®Ò":   !ÌY, nªn ( ® !)= =( , ) HiÖn h×nh-Tån t¹i. 

§Þnh lý 4: Sè “MÖnh tö” cña TËp hîp: { }ÌX (H÷u h¹n hay V« h¹n) gäi lµ Sè kh¶ n¨ng T¹o hãa-Tù nhiªn, hay gäi lµ: sè HiÖn h×nh-Tån t¹i cña mét: “MÖnh tö” : !ÌY Vµ ng­îc l¹i. C/M: Râ rµng

6- " MÖnh tö To¸n tö " vµ "MÖnh tö TÝnh to¸n " a) " MÖnh tö To¸n tö " §Þnh nghÜa: VÝ dô:

b) " MÖnh tö TÝnh To¸n " §Þnh nghÜa: VÝ dô-1: Cho tËp hîp X bÊt kú kh¸c ræng (). CÇn hiÓu lµ: X= Xk ; Xk = Xk+1 , víi :kI. XÐt mét phÐp "PhÐp-Logic" k : XX, lµ "PhÐp-Logic Hîp" ("PhÐp-Logic" Däc) cña c¸c "PhÐp-Logic ngang" k : XX; k k= a, (k = ): k = [ k . k-1. ..... 2. 1] , biÕn ®æi liªn tiÕp " §é lín" cña c¸c "MÖnh tö" : kX , gäi lµ phÐp " MÖnh tö §Õm ", lµ "PhÐp to¸n §Õm"=“PhÐp to¸n Thªm”: k (Ký hiÖu: k= +), "§é lín" c¸c "MÖnh tö": X b»ng a, nghÜa lµ: = a , kX, x¸c ®Þnh nh­ sau:

k : XX ,  k  = k = a , nghÜa lµ: k ( k )= k (a)= a,  hay:  k =  (a; a) = a+a = 2.a (k =   )

Do ®ã ta cã: X( 1)X ( 2) X( 3).....X( k-1)X( k)X:

                      a        2.a        3.a     .....  (k-1).a  k.a   (k+1).a

VËy lµ: k(a)= [ k . (k-1). ..... 2. 1](a)= (k+1).a Tõ ®ã PhÐp Logic : k hîp : k phÐp logic: k ,(k = ) vµ ®Æt b = k+1 th× khi thùc hiÖn (b-1) b­íc biÕn ®æi trªn X víi phÐp TÝnh to¸n Céng(+) th«ng th­êng c¸c "Sè" = ®é lín " MÖnh tö " Ta ®­îc kÕt qu¶:

b(a) = [ (b-1).  (b-2) .  .....   2.  1](a) = (b).a= ba . 

Gäi: b(a) = b.a =ba , lµ TÝch cña "MÖnh tö" cã ®é lín: b vµ "MÖnh tö" cã ®é lín: a. Nªn " MÖmh tö" b cã ®é lín  b  =b.a= ba

Ta l¹i xÐt mét "PhÐp-Logic ngang " (k+1) , x¸c ®Þnh nh­ sau:

(k+1): XX ; ( )  a = (k+1)[( )]=  = k.a = ka    víi: X=  Xk ;  Xk = Xk+1 ,  k = , Nh­ vËy ®é lín cña " MÖmh tö"  (k+1)  =(ka; a)= (ka+a) =(k+1)a

Tõ ®ã PhÐp Logic (k+1) ngang: mét phÐp logic: (k+1) vµ ®Æt b = k+1 th× khi thùc hiÖn biÕn ®æi : k = (b-1) "MÖnh tö": X cã ®é lín  = a, trªn X víi: (k+1) phÐp TÝnh to¸n Céng(+) th«ng th­êng c¸c "Sè" = ®é lín " MÖnh tö " Ta ®­îc kÕt qu¶: Nªn " MÖmh tö" b cã ®é lín  b = b.a = ba

* VËy kÕt hîp lai Ta cã ®Þnh lý:  b = b = b.a = ba ,víi:  a, vµ b  lÇn l­ît lµ ®é lín cña c¸c "MÖnh tö":  X vµ "MÖnh tö":   X
  • Thay ®æi vai trß cña a vµ b trong viÖc dÉn d¾t trªn Ta cã ®Þnh lý:

PhÐp biÕn ®æi tÝnh to¸n cña c¸c "MÖnh tö L­îng tö " (gäi lµ "MÖnh tö - §é lín") gäi lµ cã tÝnh chÊt giao ho¸n lµ:  b = b = b.a = a.b ,víi:  a, vµ b lÇn l­ît lµ ®é lín cña c¸c "MÖnh tö":  X vµ "MÖnh tö":   X VËn dông VÝ dô: trªn víi : a = ; huÆc b = , nãi chung lµ Tæng c¸c H¹t v« cïng bÐ khi cho: (n) khi ®i qua n = b ; huÆc n= a, th× kÕt ®äng thµnh H¹t. §©y lµ sù HiÖn h×nh h¹t N¨ng l­îng: "VËt ChÊt" §Çu Tiªn trong Vò trô quan s¸t Chóng ta Sèng hiÖn nay.


7- PhÐp-Logic §¬n, PhÐp-Logic Toµn vµ PhÐp-Logic Song a) - PhÐp-Logic §¬n b) - PhÐp-Logic Toµn c) -PhÐp-Logic Song 8- PhÐp-Logic Ng­îc (PhÐp-Logic nghÞch ®¶o) 9- PhÐp-Tiªn §Ò (PhÐp-§Þnh ®Ò) vµ PhÐp-Bæ §Ò (PhÐp-§Þnh lý) a) PhÐp-Tiªn §Ò (PhÐp-§Þnh ®Ò) §Þnh nghÜa: Cho hai tËp hîp X  Y kh¸c ræng () bÊt kú. Goi A lµ mét tËp con c¸c "MÖnh tö" k cña t©p X: ( kX; A={ k kX }). Mét "PhÐp-logic" :  XY  A = (A),  kAX; Y th× "PhÐp-logic": gäi lµ mét PhÐp-Tiªn §Ò, hay gäi lµ mét PhÐp-§Þnh ®Ò trªn TËp hîp: (XY)

VÝ dô: C¸c §Þnh nghÜa trªn mét TËp: XY (kh«ng gian: XY) cña mét m«n häc ®ang vµ ®•, x©y dùng

Ch¼ng h¹n cô thÓ: HÖ PhÐp-Tiªn §Ò CÊu tróc m«n häc: h×nh häc kh«ng gian X. X©y dùng tõ mét tËp X kh¸c ræng (X ), v« h¹n kh«ng ®Õm ®­îc c¸c "MÖnh tö ": Tiªn ®Ò-1: Trong mét tËp X kh¸c ræng (X ), v« h¹n kh«ng ®Õm ®­îc c¸c "MÖnh tö " lµ c¸c "V« h­íng", hay lµ c¸c "§a h­íng", gäi lµ c¸c ®iÓm: A; B; C; .... ; X; Y; Z; ..... trong tËp hîp X Tiªn®Ò-2: TËp hîp: AB = { X  X  A, X  B vµ A B, X AB }=BA= a , gäi lµ ®­êng th»ng a =AB=BA, ®i qua hai ®iÓm C¬ së A vµ B, trong tËp hîp X Tiªn®Ò-3: TËp hîp: ABC = { X  X  A, X  B , X  C, X AB ; X BC, XAC vµ A BC , XABC }= BAC =CBA = mp(ABC), gäi lµ mÆt ph»ng P =(ABC) ®i qua ba ®iÓm C¬ së A; B vµ C , trong tËp hîp X Tiªn®Ò-4: TËp hîp: ABCD = { X  X  A, X  B , X  C, X  D , X AB ; X BC, XAC, XAD, XBD, XCD vµ ABCD , XABCD }= BACD =CBAD = kg(ABCD) = X, gäi lµ Kh«ng gian: X =ABCD ®i qua hai ®iÓm C¬ së A; B; C vµ D , trong tËp hîp X. Tiªn®Ò-5 : Kh«ng gian: X =kg(ABCD) ®i qua bèn ®iÓm C¬ së A; B; C vµ D , trong tËp hîp X, hai ®­êng th¼ng: a(P) vµ b(P) trong mét mÆt ph¼ng (P) kh«ng cã ®iÓm M X chung nµo lµ hai ®­êng th¼ng avµ b song song : a//b. Tiªn®Ò-6 : vµ .... vµ c¸c Tiªn®Ò sÏ ®­îc §N x©y dùng tïy ý ....

b) PhÐp-Bæ §Ò (PhÐp-§Þnh lý) §Þnh nghÜa: Cho hai tËp hîp X = Y, kh¸c ræng () bÊt kú, mét "MÖnh tö" k cña t©p X: ( kX). Mét "PhÐp-logic" :

XX   != ( )!,  A;  !X  th× "PhÐp-logic": 
gäi lµ mét PhÐp-Bæ §Ò, hay gäi lµ mét "PhÐp-§Þnh lý" trªn TËp hîp:X (kh«ng gian: X = XX)
VÝ dô: C¸c Bæ §Ò huÆc c¸c §Þnh lý trªn mét TËp: X (kh«ng gian: X) cña mét m«n häc ®ang vµ ®•, x©y dùng

c) Chøng minh mét PhÐp-Bæ §Ò (Chøng minh mét PhÐp-§Þnh lý) §Ó chøng minh mét PhÐp-Bæ §Ò, hay chøng minh mét PhÐp-§Þnh lý, gäi t¾t lµ chøng minh mét Bæ §Ò, hay chøng minh mét §Þnh lý. Ta thùc hiÖn, chØ ra liªn tiÕp c¸c: PhÐp-Tiªn ®Ò hay PhÐp-Bæ §Ò, hay chøng minh mét PhÐp-§Þnh lý ®• biÕt trong cïng mét tËp hîp: XX= X (cïng mét Kh«ng gian XX = X) tõ MÖnh ®Ò gi• thiÕt: X ®Õn MÖnh ®Ò !X KÕt luËn VÝ dô: H×nh vÏ trªn : VIII- MÖnh tö b»ng nhau; Hä MÖnh tö b»ng nhau - §¼ng Thøc §Þnh nghÜa: Cho hai tËp hîp kh¸c ræng: X vµ Y, hay cho Hai hä “mÖnh tö” kh¸c ræng: X vµ Y. Hai "PhÐp-Logic" hay Hai hä “mÖnh tö” kh¸c ræng trªn tËp hîp: XY gäi lµ b»ng nhau nÕu vµ chØ nÕu

X vµ Y

10 - Sù "HiÖn h×nh" mÖmh tö gi÷a Hai hä mÖnh tö §Þnh nghÜa: Cho hai tËp hîp kh¸c ræng: X vµ Y, hay cho Hai hä “mÖnh tö” kh¸c ræng: X vµ Y, mæi "PhÐp-Logic" ®­îc x¸c ®Þnh-tån t¹i: gäi lµ "HiÖn h×nh" trªn hai tËp hîp kh¸c ræng: X vµ Y, nÕu vµ chØ nÕu mét "PhÐp-Logic" lµ mét "MÖnh ®Ò" kÐo theo ®óng(§) trªn tËp XY

11- Sù "HiÖn h×nh" mÖmh tö TiÒn Sinh, hä mÖnh tö, hä mÖmh tö Con cña mét hä mÖnh tö,

12 - HÖ mÖmh tö c¬ së cña mét hä mÖnh tö

a) Mét “MÖnh tö” "§éc lËp" ®èi víi mét "mÖnh tö " §Þnh nghÜa: Mét "MÖnh tö " : 1 =( 1; 1), gäi lµ "§éc lËp" ®èi víi mét "MÖnh tö" : 2 =( 2; 2)(XY), Khi vµ chØ khi "mÖnh tö ": 1  2 , Víi: 1 Y vµ 2 Y. NghÜa lµ c¸c "mÖnh tö ": 1 Y vµ 2 Y, kh«ng cïng mét " LuËt Hîp Thµnh" trªn tËp hîp Y.

b) Mét “MÖnh tö” "§éc lËp" ®èi víi mét hä "mÖnh tö " §Þnh nghÜa: Mét "MÖnh tö ": =( ; ), gäi lµ "§éc lËp" ®èi víi mét hä "MÖnh tö" : i =( i; i)(XY), Khi vµ chØ khi "mÖnh tö ":  i , Víi:  Y vµ i Y . NghÜa lµ c¸c "mÖnh tö " :  Y vµ i Y , kh«ng cïng mét " LuËt Hîp Thµnh" trªn tËp hîp Y.

c) Mét hä MÖnh tö "§éc lËp" ®èi víi mét hä MÖnh tö §Þnh nghÜa: Mét hä "mÖnh tö " i =( i; i)(XY), gäi lµ "§éc lËp" ®èi víi mét hä "mÖnh tö" j =( j ; j)(XY), Khi vµ chØ khi mäi "mÖnh tö ": i  j th× ; i  j ; víi:  i Y vµ  j Y ,

d) Mét MÖnh tö "Phô thuéc" ®èi víi mét "mÖnh tö " §Þnh nghÜa: Mét "mÖnh tö " 1=( 1; 1)(XY), gäi lµ "Phô thuéc" ®èi víi mét "mÖnh tö " 2 =( 2; 2)(XY), Khi vµ chØ khi " Hîp thµnh" cña c¸c "mÖnh tö " nµy nh­ nhau: 1 = 2 X vµ 1= 2 Y, e) Mét MÖnh tö "Phô thuéc" ®èi víi mét hä "mÖnh tö " §Þnh nghÜa: Mét "mÖnh tö " =( ; ), gäi lµ "Phô thuéc" ®èi víi mét hä "mÖnh tö" i =( i; i)(XiYi), Khi vµ chØ khi " Hîp thµnh" cña "mÖnh tö ": =( ; ) = i =( i; i)(XiYi), víi i: = iXi vµ = i Yi , NghÜa lµ: "mÖnh tö " =( ; )(Xi  (Xi))

VÝ dô trªn "mÖnh tö " lµ c¸c "MÖnh tö" cã mòi tªn: 1; 2; 3; 4; 5; 7. lµ "Phô thuéc" ®èi víi hä "mÖnh tö " i=( i; i)(XiYi), víi:  iXi vµ  iYi. c) “HÖ mÖmh tö” c¬ së ®èi víi mét (hä) "mÖnh tö " §Þnh nghÜa: Mét hÖ c¸c “mÖnh tö” "§éc lËp" cña mét (hä) "mÖnh tö " lµ mét “HÖ mÖmh tö” c¬ së cña mét (hä) mÖnh tö ®• cho.

PhÇn A

 L­îc ®å S¬ bé cÊu tróc cña m«n häc

I- TËp hîp II-"PhÐp- logic"(PhÐp-Logic Ngang)

IIi-"MÖnh tö h÷u h­íng" vµ " MÖnh tö V« h­íng"

IV- " MÖnh tö To¸n tö " vµ "MÖnh tö TÝnh to¸n " vI - HÖ mÖmh ®Ò c¬ së cña mét hä mÖnh ®Ó Iv- PhÐp-Logic §¬n, PhÐp-Logic Toµn vµ PhÐp-Logic Song a) - PhÐp-Logic §¬n b) - PhÐp-Logic Toµn c) -PhÐp-Logic Song V- PhÐp-Logic Ng­îc (PhÐp-Logic nghÞch ®¶o) VI -PhÐp-Logic Hîp (PhÐp-Logic Däc) vIi- PhÐp-Tiªn §Ò (PhÐp-§Þnh ®Ò) vµ PhÐp-Bæ §Ò (PhÐp-§Þnh lý) a) PhÐp-Tiªn §Ò (PhÐp-§Þnh ®Ò) b) PhÐp-Bæ §Ò (PhÐp-§Þnh lý) VIII- MÖnh tö b»ng nhau; Hä MÖnh tö b»ng nhau - §¼ng Thøc

IX - Sù "HiÖn h×nh" mÖmh tö gi÷a Hai hä mÖnh tö X - HÖ mÖmh tö c¬ së cña mét hä mÖnh tö

PhÇn B

 L­îc ®å Gi¶I thÝch cÊu tróc cña m«n häc